向 Abrikosov 态的分岔与相图

我们在本论文中研究 $\R^3$ 中定义在满足关于 $x_3$ 的规范周期性条件以及 $(x_1,x_2)$ 上离散格点周期性的函数对 $(\phi, \overrightarrow{A})$ 上的 Ginzburg-Landau 泛函。我们证明该变分问题等价于在一个环面上最小化另一泛函的问题。在证明框架中，出现了一个非平凡向量丛。随后我们将自己限于量子化数为 1 的情形。接着我们证明该泛函在泛函空间 $H^{1}$ 上存在最小值，其满足称为 Ginzburg-Landau 方程组的偏微分方程组。由 Ginzburg-Landau 方程组的椭圆性，该最小值是 $C^{\infty}$ 的。我们证明在临界场 $H_{ext}=k$ 处由对 $(0,0)$ 发生分岔，其中 $k$ 是系统的特征参数。我们于是研究所分岔出的解的稳定性。我们研究最小能量对环面几何的依赖关系。最后我们描述了在极限 $k$ 趋于无穷时 Ginzburg-Landau 方程组的所有解。在最后一章，我们给出我们模型的相图结构，并指明哪些区域是正常态、纯超导态、混合态。