Lotka-Volterra 竞争模型的分叉现象

我们分析以下两组分竞争系统的分叉现象：\begin{equation*} \begin{cases} -\Delta u_1=\mu u_1(1-u_1)-\beta \alpha u_1u_2,& \text{in}\ B_1\subset \mathbb{R}^N, \ -\Delta u_2=\sigma u_2(1-u_2)-\beta \gamma u_1u_2,& \text{in}\ B_1\subset \mathbb{R}^N, \frac{\partial u_1}{\partial n}= \frac{\partial u_2}{\partial n} =0,&\text{on}\ \partial B_1, \end{cases} \end{equation*} 其中 $N\ge 2$，$\alpha>\gamma>0$，$\sigma\ge\mu>0$ 且 $\beta>\frac{\sigma}{\gamma}$。更具体地，作为分叉参数处理 $\beta$，我们首先进行对正常数解的局部分叉分析，获取分叉可能发生的精确信息，并确定分叉方向。作为副产品，我们提供常数解的不稳定性。此外，我们扩展了全球分叉分析。最后，在 $\sigma=\mu$ 的条件下，我们展示了在竞争率 $\beta\rightarrow+\infty$ 时，每条分叉分支的极限配置。