双锥图、加权森林与拟阵复形的 h-向量

Richard Stanley 的一个著名猜想认为，拟阵的独立复形的 $h$-向量是一个纯 ${\mathcal O}$-序列。该猜想已在多类拟阵上得到证实，但对于图拟阵仍属开放问题。双锥图是一种具有两个指定“锥化顶点”的图，使得图中的每个顶点都至少连接到一个锥化顶点。双锥图类包含锥化图、Ferrers 图和完全多部图。我们研究由双锥图产生的图拟阵的 $h$-向量，就其项给出了基于底层图的“$2$-加权森林”的组合解释。这推广了 Kook 与 Lee 关于完全二部图的图拟阵的 Möbius 协不变元（$h$-向量的最后一个非零项）的构造。我们证明，允许部分 $2$-加权森林可得到一个纯多重复形，其面计数恢复了该 $h$-向量，从而确立了 Stanley 猜想对这类拟阵的成立。我们还讨论了我们的构造如何与针对这类拟阵的 Stanley 猜想的一个组合加强（由 Klee 和 Samper 提出）相关联。