具有拟阵约束的根树分解及带边界框架的无穷小刚性

作为经典树划分问题的推广，我们考虑在附加拟阵约束下将图分解为边不相交的（根）树。具体而言，假设给定图 $G=(V,E)$、$V$ 中顶点的多重集 $R=\{r_1,..., r_t\}$ 以及 $R$ 上的拟阵 ${\cal M}$。我们证明了 $G$ 可分解为 $t$ 个边不相交子图 $G_1=(V_1,T_1),..., G_t=(V_t,T_t)$ 的充要条件，使得：(i) 对每个 $i$，$G_i$ 是一棵包含 $r_i\in V_i$ 的树；(ii) 对每个 $v\in V$，多重集 $\{r_i\in R\mid v\in V_i\}$ 是 ${\cal M}$ 的一个基。若 ${\cal M}$ 是自由拟阵，则此为分解为 $t$ 棵边不相交生成树；因此，我们的结果是 Nash-Williams 树划分定理的真推广。此类拟阵约束源于组合刚性理论。作为分解定理的直接应用，我们给出了具有非通用“边界”框架的无穷小刚性刻画，推广了关于杆件 - 节点框架通用 2-刚性的经典 Laman 定理以及关于体 - 杆框架通用 $d$-刚性的 Tay 定理。