双连通图的分解树

通过一组两两独立的 $k$-顶点割集 $\mathfrak S$ 对 $k$-连通图进行分解的树定义如下：该树的顶点是 $\mathfrak S$ 中的割集以及图通过集合 $\mathfrak S$ 分解后的部分，每个割集与所有包含它的部分相邻。我们证明了上述描述的图是一棵树。双连通图的分解树是此构造的一个特例：它是双连通图通过其所有单一割集（即与所有其他 2-顶点割集独立的 2-顶点割集）集合进行分解的树。我们表明，该树与连通图的经典块与割点树有许多共同之处。借助双连通图的分解树，我们证明了一个平面性判据，并找到了该图色数的一些上界。最后，我们研究了临界双连通图的结构，并证明了每个此类图至少具有四个度为 2 的顶点。