双生成图唯一对称基交换图的结构

双生成图（bispanning graphs）是边集可分解为两个不相交生成树的无向图。在两个树之间对称地交换两条边，使得结果成为一对不同的不相交生成树的操作，称为边交换或对称基交换（symmetric base exchange）。双生成图的对称基交换图为每个有效的不相交生成树对包含一个顶点，并在它们之间连边以表示所有可能的边交换。我们感兴趣于将这些图限制为仅包含唯一对称基交换（unique symmetric base exchanges），即选择一条边后仅剩一种选择来选取另一条边的边交换。在本论文中，我们讨论唯一对称边交换图的结构，以及这些图是否对所有双生成图都连通的开放问题。我们的组合方法根据双生成图是否包含非平凡双生成子图以及根据顶点和边连通性对其进行分类。对于包含非平凡双生成子图的双生成图，我们证明唯一交换图是两个较小交换图的笛卡尔图积（Cartesian graph product）。对于顶点连通性为 2 的双生成图，我们展示该双生成图是两个较小双生成图的 2-团和（2-clique sum），并且唯一交换图可通过在连接缝处连接它们的交换图并转发边来构建。对于所有剩余的双生成图，我们证明在 3 度顶点处的组合方法，其中唯一交换图由三个约化双生成图的交换图构造而成。