Riemann 与 Weyl 张量的 Bianchi 恒等式

本文旨在结合偏微分方程系统的形式理论（Spencer 上同调、微分系统、形式可积性）与代数分析（同调代数、微分模、对偶）的框架，重新审视 Riemann 与 Weyl 张量已有的 Bianchi 恒等式。特别地，我们证明在任意维数 n $\ge$ 2 下，Riemann 张量的 n^2(n^2-1)(n-2)/24 个生成 Bianchi 恒等式是一阶的，并且可以借助一阶 Killing 符号的 Spencer 上同调轻松描述。类似地，在任意维数 n $\ge$ 5 下，Weyl 张量的 n(n^2-1)(n+2)(n-4)/24 个生成 Bianchi 恒等式是一阶的，并且可以借助一阶共形 Killing 符号的 Spencer 上同调轻松描述。作为一个最令人惊讶的结果，在维数 n = 4 时 Weyl 张量的 9 个生成 Bianchi 恒等式是二阶的，而在维数 n = 3 时 Weyl 张量的类似物具有 5 个三阶度量分量，并带有 3 个一阶生成 Bianchi 恒等式。上述无法以其他方式获得的结果，对任何常 Riemann 曲率的非退化度量都成立，且不依赖于任何共形因子。它们在由 Alban Quadrat (INRIA, Lille) 使用计算机代数生成的附录中得到了验证。我们最后解释了为何 Lanczos 及其追随者的工作与这些结果不一致，因此也必须被重新审视。