黎曼张量广义双对偶在几何与引力中的构造

黎曼曲率张量完全编码局部几何信息，但其 Ricci 缩写仅保留有限信息：仅保留 Ricci 张量和标量曲率，而 Weyl 曲率全消失。我们表明，对黎曼张量的双对偶进行缩写可完整释放曲率结构，产生一系列规范的、保发散的对称 $(p,p)$ 双形式。这些张量满足第一 Bianchi 身份，并遵循一种继承性的缩写关系，将双对偶张量与 Einstein 张量进行插值。在一般几何环境下，我们证明了该层级中每个张量都是唯一的保发散 $(p,p)$ 双形式，且线性依赖于黎曼曲率张量，从而为 Einstein 张量提供了规范的高阶秩父张量。其截面曲率与 $p$--曲率一致；特别是，$2$--曲率决定了完整的黎曼曲率张量，并迫使 compact spin 流形的 $\hat A$--系数的为零（当非负时），这一性质在 Ricci 或标量曲率中并不存在。最后，我们将构造推广到 Gauss--Kronecker 曲率张量和 Lovelock 理论中，特别是证明第二 Lovelock 张量 $T_4$ admits 真正的四阶序父张量。