将黎曼曲率推广到 Regge 度量

本文中,我们提出在配备 Regge 度量的流形(二维或更高维)上黎曼曲率张量的一种推广。具体而言,虽然度量张量的所有分量在流形三角剖分的元素内部假设为光滑的,但它们在元素界面处不必光滑,界面处仅假设切向分量连续。虽然度量的线性导数可推广为 Schwartz 分布,但类似地将经典黎曼曲率张量(度量的非线性二阶导数)推广则需要更谨慎。我们提出一种结合经典角缺陷与跨元素界面的第二基本形式跳跃的推广,并论证其正确性。具体地,若分段光滑度量逼近一个全局光滑度量,则我们的广义黎曼曲率张量逼近后者对应的经典黎曼曲率张量。此外,我们证明在某些附加假设下,若度量逼近在以网格相关的、等价于 $L^2$ 范数的范数下以某速率收敛,则曲率逼近在负 Sobolev 空间 $H^{-2}$(即 $H^2_0$ 的对偶空间)中以相同速率收敛。通过对广义黎曼曲率张量作适当缩并,本工作还给出了任意维中标量曲率、Ricci 曲率张量与 Einstein 张量的推广。