$p$-Borel 固定理想的 Betti 表

在本注记中，我们提供了一个反例来反驳 K. Pardue [Thesis, Brandeis University, 1994.] 的一个猜想，该猜想断言如果一个单项式理想是 $p$-Borel 固定的，那么其 $\naturals$-分级 Betti 表在过渡到任何域后都不依赖于该域。更确切地说，我们表明，对于整数环 $\ints$ 上多项式环 $S$ 中的任何单项式理想 $I$ 和任何素数 $p$，存在一个 $p$-Borel 固定的单项式 $S$-理想 $J$，使得 $J(S \otimes_\ints \ell)$ 的多分级 Betti 表的一个区域与 $I(S \otimes_\ints \ell)$ 的多分级 Betti 表之间存在一一对应关系，这对于任意特征的所有域 $\ell$ 均成立。对于特征零中的 Borel 固定理想，没有类似的陈述。此外，该构造还表明存在具有非胞腔极小分辨的 $p$-Borel 固定理想。