胖森林及其 Alexander 对偶的 Betti 数

设 $k$ 为一个域，$R=k[x_1,\ldots,x_n]/I=S/I$ 为一个分次环。若 $I$ 由 $t$ 次齐次元生成且所有高阶合冲均为线性，则 $R$ 具有 $t$-线性分解。因此若 ${\rm Tor}^S_{i,j}(S/I,k)=0$ 当 $j\ne i+t-1$，则 $R$ 具有 $t$-线性分解。对于 $[{\bf n}]=\{1,\ldots,n\}$ 上的单纯复形 $\Delta$ 与域 $k$，Stanley-Reisner 环 $k[\Delta]$ 为 $k[x_1,\ldots,x_n]/I$，其中 $I$ 由那些平方自由单项 $x_{i_1}\cdots x_{i_k}$ 生成，其对应的 $\{ i_1,\ldots,i_k\}$ 不属于 $\Delta$。在 \cite{Fr} 中确定了具有 2-线性分解的 Stanley-Reisner 环。其相伴复形在文献中有不同名称。我们在此称之为胖森林。本文中我们确定了胖森林的 Betti 数。我们也考虑了胖森林的 Alexander 对偶的 Betti 数。