由 $S/(3,v_1^8)$ 上的 $v_2^9$ 自映射产生的 Beta 族

我们证明 $v_2^9$ 是在计算 $\pi_*(S/(3,v_1^8))$ 的 3- primary Adams-Novikov 谱序列中的永久循环，并由此得出结论：对所有 $t\geq 0$，族 $\beta_{9t+3/i}$（$i=1,2$）、$\beta_{9t+6/i}$（$i=1,2,3$）、$\beta_{9t+9/i}$（$i=1,\dots,8$）、$\alpha_1\beta_{9t+3/3}$ 和 $\alpha_1\beta_{9t+7}$ 均是球面的 3- primary Adams-Novikov 谱序列中的永久循环。我们使用 Wang 的计算机程序确定相关度数下球面 Adams-Novikov $E_2$ 页的加性与部分乘性结构。 $i=1$ 的情形恢复了 Behrens-Pemmaraju 与第二作者先前已知的结果。关于 $\beta_{9t+3/3}$、$\beta_{9t+6/3}$ 和 $\beta_{9t+8/9}$ 的结果此前由第二作者声称；计算机计算使我们能够给出更直接的证明。作为一个应用，我们确定了在 $p=3$ 时 Hurewicz 映射 $\pi_*S \to \pi_*tmf$ 的像。