Bernstein-Sato 簇与幂的零化

给定复流形 $X$ 上点 $\mathfrak{x}$ 附近的复芽 $f$，并配备因式分解 $f = f_{1} \cdots f_{r}$，我们考虑由 $F^{S} := f_{1}^{s_{1}} \cdots f_{r}^{s_{r}}$ 生成的 $\mathscr{D}_{X,\mathfrak{x}}[s_{1}, \dots, s_{r}]$-模。我们证明对一大类芽而言，$F^{S}$ 的零化子由导子生成，且该性质不依赖于所选取的 $f$ 的因式分解。我们进一步通过 $\mathscr{D}_{X,\mathfrak{x}}$-映射 $\nabla_{A}$ 研究附着于 $F$ 的 Bernstein-Sato 簇与 $f$ 的上同调支撑位之间的关联。这与在某些商模上乘以 $f$ 有关。我们证明对我们这类除子，$\nabla_{A}$ 的单射性蕴含其满射性。限制到约化自由除子情形，我们利用 Lie-Rinehart 代数理论也证明了反向结论。特别地，我们借助 Narv\'aez-Macarro 开创的技术分析了 $\nabla_{A}$ 的对偶。作为我们结果的应用，我们证明了 Budur 在驯顺情形下的一个猜想：若 $\text{V}(f)$ 是一个中心的、本质的、不可分解的驯顺超平面构型，则对应于 $F$ 的 Bernstein-Sato 簇包含某个超平面。由 Budur 的工作，这验证了驯顺构型的拓扑多变量强单值性猜想。最后，在约化自由情形，我们根据由 $F^{S}$ 导出的模的半单性刻画了 $\mathfrak{x}$ 附近位于 $f$ 的上同调支撑位之外的局部系统。