关于超曲面奇点的 Brieskorn (a,b)-模

我们在本文中指出，对于在全纯函数芽 $g$（在 $\mathbb{C}^n$ 原点具有孤立奇点）的情形，当 $\alpha$ 是 $g$ 的约化 Bernstein-Sato 多项式在其模 $\mathbb{Z}$ 等价类中的最小根时，分布 \begin{equation*} \frac{1}{\Gamma(\lambda)} \int_X | g |^{2\lambda}\bar{g}^{-n} \square \tag{*} \end{equation*} 的亚纯延拓在 $- n - \alpha$ 处有一个极点。这一相当出乎意料的结果源于：与 $g$ 关联的 Brieskorn (a,b)-模 $E_g$ 的自对偶性将 $E_g$ 的最大单极点子-(a,b)-模与 $E_g$ 通过 $b^{-1}a$ 的饱和交换。在本文第一部分，我们证明 $g$ 的 Brieskorn (a,b)-模 $E$ 的最大单极点子-(a,b)-模是“几何的”，即它仅依赖于 $\mathbb{C}^n$ 原点处的超曲面芽 $\{g = 0 \}$，而不依赖于约化方程 $g$ 的精确选择，正如 (*) 的极点那样。由对偶性，我们推出 $E$ 的饱和 $\tilde{E}$ 具有相同性质。该对偶性也给出了“对偶” Bernstein-Sato 多项式与通常多项式之间的关系，这是定理证明的关键。