校准流形中的 Bernstein-Heinz-Chern 结果

给定 $(\bar{M},\Omega)$ 为一个具有秩 $m$ 平行校准的校准黎曼流形，$M^m$ 为一个具有平行平均曲率 $H$ 的浸入可定向子流形，我们证明：如果 $\cos \theta$ 有远离零的下界（其中 $\theta$ 是 $M$ 的 $\Omega$-角），且 $M$ 的 Cheeger 常数为零，则 $M$ 是极小的。在 $M$ 完备且 $Ricc^M\geq 0$ 的特殊情况下，我们可以将 $\cos \theta$ 的有界性条件替换为当 $r\to +\infty$ 时 $\cos \theta\geq Cr^{-\beta}$，其中 $0\leq\beta <1$ 和 $C > 0$ 为常数，$r$ 是到 $M$ 中某点的距离函数。我们的证明出人意料地简单，并以统一的方式将 Heinz 和 Chern 开始的估计欧几里得空间中图形超曲面平均曲率的问题推广到校准流形中非常广泛的一类子流形。该证明基于用 $\cos\theta$ 估计 $\|H\|$ 以及一个等周不等式。我们还给出了一些条件以得出 $M$ 是全测地的结论，并研究了一些特殊情况。