缺项级数在自然边界上的行为

我们发展了形如 $\sum\limits_{k=1}^{\infty}c_k\exp(-zg(k)), \Re(z)>0$ 的缺项 Dirichlet 级数在 $z$ 趋近边界 $i\RR$ 时的局部理论，假设 $g'\to\infty$ 以及对 $c_k$ 的进一步假设。这些级数出现在傅里叶分析、无穷阶微分算子、数论和全纯动力学等众多应用中。对于 $c_k=1$ 的相对一般级数（我们主要关注的情形），我们得到了沿虚线的测度爆破速率以及在 $z=0$ 处的渐近信息。当 $g$ 具有足够的解析性信息时，我们得到了边界点处的 Borel 可和展开式，从而给出精确的局部描述。展开式的 Borel 可和性提供了越过障碍的保性质延拓。奇异行为具有显著的普适性和自相似性特征。若 $g(k)=k^b$, $c_k=1$, $b=n$ 或 $b=(n+1)/n$, $n\in\NN$，则边界附近的行为大致为标准形式 $\Re(z)^{-b'}Q(x)$，其中若 $x=p/q\in\QQ$ 则 $Q(x)=1/q$，否则为零。形如 $x_{n+1}=\lambda P(x_n)$, $|\lambda|<\lambda_0(P)$ 的多项式迭代在无穷远处的 Böttcher 映射被证明具有以简单缺项级数表示的一致收敛傅里叶展开。对于二次映射 $P(x)=x-x^2$, $\lambda_0=1$，Julia 集是 Mandelbrot 集主心形线内该傅里叶展开的图形。