几乎 Golomb 方程的 Beatty 解

几乎 Golomb 阶数为 $r$ 的方程是隐式函数方程 $$a\Bigl(\sum_{j=0}^{r-1} a(n{-}j)\Bigr) = n$$ 对于正整数的非递减序列，其中 $a(1)=1$。其最早解，即阶数为 $r$ 的几乎 Golomb 序列，按 Allouche 和 Shallit 的说法是 $r$ 正则的，且具有振荡比值 $a(n)/n$。我们证明对于每一个 $r\geq 2$ 且非为偶数完全平方数，该方程 admits 一个第二个单调解，由斜率为 $1/\!\sqrt{r}$ 的非齐次 Beatty 序列给出。将方程与 $a$ 复合可得一个三层嵌套恒等式，其 admits 一个由斜率为 $1/\!\sqrt{r}$ 的非齐次 Beatty 解的连续一参数族，参数由平移 $d$ 给出，范围在显式区间内。我们严格确定 $r=2$ 和 $r=3$ 的这些区间；每个证明都通过局部 regime 分析结合不理性轨道的均匀分布实现。这些区间的端点自然位于 Fokkink 的 Pell--Ostrowski 框架内；对于 $r=2$ 的上端点，缺陷集被表述为不理性旋转返回显式区间的返回时间集合。