Focusing Nonlinear Schrödinger 方程的 $\bar{\partial}$-问题与声子屏蔽

我们考虑Focusing Nonlinear Schrödinger(NLS)方程的声子气解，其中Zakharov-Shabat线性算子的点谱在上半平面上的有界域$\mathcal{D}$中凝结。我们表明，对应的逆散射问题可形式化为域上的$\bar{\partial}$-问题。我们通过表明该问题的$\tau$-函数（一个Fredholm行列式）不为零，证明了该$\bar{\partial}$-问题解的存在性。随后我们通过$\bar{\partial}$-问题的$\tau$表示NLS方程的解。最后我们表明，当域$\mathcal{D}$是一个椭圆体且声子密度解析时，Cauchy问题的初始数据在$x \to -\infty$时表现为渐近阶跃振荡，描述为周期椭圆函数，而在$x \to +\infty$时以指数速率消失。