具有预指定零点个数的Bank-Laine函数

Bank--Laine函数$E$写作$E=f_1f_2$，其中$f_1$和$f_2$是二阶微分方程$f''+Af=0$的两个规范化解，$A$为整函数。本文中，我们首先完成了Bergweiler和Eremenko的Bank--Laine函数构造。随后，令$n\in \mathbb{N}$为正整数，我们证明了整函数$A$的存在性，使得关联的Bank--Laine函数$E=f_1f_2$具有三种类型的预指定零点个数收敛指数$\lambda(E)$：（1）对任意两个数$\lambda_1,\lambda_2\in[0,n]$满足$\lambda_1\leq \lambda_2$，存在阶为$\rho(A)=n$的整函数$A$，使得$E=f_1f_2$满足$\lambda(f_1)=\lambda_1$、$\lambda(f_2)=\lambda_2$且$\lambda(E)=\lambda_2\leq \rho(E)=n$；（2）对任意数$\rho\in(n/2,n)$和$\lambda\in[0,\infty)$，存在阶为$\rho(A)=\rho$的整函数$A$，使得$E=f_1f_2$满足$\lambda(f_1)=\lambda$、$\lambda(f_2)=\infty$，且对任意常数$c$有$E_c=f_1(cf_1+f_2)$满足$\lambda(E_c)=\infty$；（3）对任意数$\lambda\in[0,n]$，存在阶为$\rho(A)=n$的整函数$A$，使得$E=f_1f_2$满足$\lambda(f_1)=\lambda$、$\lambda(f_2)=\infty$，且对任意常数$c$有$E_c=f_1(cf_1+f_2)$满足$\lambda(E_c)=\infty$。这三类Bank--Laine函数的构造需要对Bergweiler和Eremenko的拟共形手术方法进行新的发展。