样条序列的鞅不等式

我们证明 D. Lépingle 的 $L_1(\ell_2)$-不等式 \begin{equation*} \Big\| \big( \sum_n \mathbb E[f_n | \mathscr F_{n-1}]^2 \big)^{1/2}\Big\|_1 \leq 2\cdot \Big\| \big( \sum_n f_n^2 \big)^{1/2} \Big\|_1, \qquad f_n\in\mathscr F_n, \end{equation*} 可推广到如下情形：将条件期望算子替换为到样条空间的正交投影算子，并允许 $f_n$ 包含于合适的样条空间 $\mathscr S(\mathscr F_n)$ 中。这要求滤波 $(\mathscr F_n)$ 满足依赖于 $\mathscr S(\mathscr F_n)$ 中函数光滑度程度的某种正则条件。作为副产品，在此假设下我们还得到了 $H_1$-$BMO$ 对偶的样条版本。