Bloom 型不等式：非对角情形

本文中，我们建立了分数次积分的表示公式。作为推论，对于两个分数次积分算子 $I_{\lambda_1}$ 与 $I_{\lambda_2}$，我们证明了一个 Bloom 型不等式 \begin{align*} \mbox{\hbox to 8em{}}& \hskip -8em \left\|\big[I_{\lambda_1}^1,\big[b,I_{\lambda_2}^2\big]\big] \right\|_{L^{p_2}(L^{p_1})(\mu_2^{p_2}\times\mu_1^{p_1})\rightarrow L^{q_2}(L^{q_1})(\sigma_2^{q_2}\times\sigma_1^{q_1})} % \\ %& \lesssim_{\substack{[\mu_1]_{A_{p_1,q_1}(\mathbb R^n)},[\mu_2]_{A_{p_2,q_2}(\mathbb R^m)} \\ [\sigma_1]_{A_{p_1,q_1}(\mathbb R^n)},[\sigma_2]_{A_{p_2,q_2}(\mathbb R^m)}}} \|b\|_{\BMO_{\pro}(\nu)}, \end{align*} 其中指标满足 $1<p_1<q_1<\infty$，$1<p_2<q_2<\infty$，$1/q_1+1/p_1'=\lambda_1/n$ 与 $1/q_2+1/p_2'=\lambda_2/m$，权函数 $\mu_1,\sigma_1 \in A_{p_1,q_1}(\mathbb R^n)$，$\mu_2,\sigma_2 \in A_{p_2,q_2}(\mathbb R^m)$ 且 $\nu:=\mu_1\sigma_1^{-1}\otimes \mu_2\sigma_2^{-1}$，$I_{\lambda_1}^1$ 表示作用于第一个变量的 $I_{\lambda_1}$，$I_{\lambda_2}^2$ 表示作用于第二个变量的 $I_{\lambda_2}$，$\BMO_{\rm{prod}}(\nu)$ 为加权乘积 $\BMO$ 空间，$L^{p_2}(L^{p_1})(\mu_2^{p_2}\times\mu_1^{p_1})$ 与 $L^{q_2}(L^{q_1})(\sigma_2^{q_2}\times\sigma_1^{q_1})$ 为混合范数空间。