关于线性与双线性分数次积分算子交换子的再探讨

设 $I_{\alpha}$ 为线性分数次积分算子，$\mathcal{I}_{\alpha}$ 为双线性分数次积分算子。在线性情形下，已知两权不等式对 $I_{\alpha}$ 的一阶交换子成立。但该方法不能用于得到 $I_{\alpha}$ 高阶交换子的两权范数不等式。本文首先给出 $I_{\alpha}$ 一阶交换子的另一种证明。这一新方法使我们能够考虑高阶交换子。这是通过证明交换子 $[b,I_{\alpha}]$ 可表示为某些仿乘积的有限线性组合来实现的。然后，利用柯西积分定理，我们证明了两权不等式对 $I_{\alpha}$ 的高阶交换子成立。在双线性情形下，我们给出了 $BMO$ 与 $[b,\mathcal{I}_{\alpha}]$ 有界性之间表征的二进证明。此外，为获得 $[b,\mathcal{I}_{\alpha}]$ 的有界性，我们也处理了一些双线性仿乘积。