二维分数阶 Schr"{o}dinger 算子的改进极大不等式

证明了阶数 $\a>1$ 的 Schr"{o}dinger 算子的局部极大不等式对于任意 $s>\frac38$ 均是从 $H^s(\R^2)$ 到 $L^2$ 有界的。这改进了 Sj"{o}lin 关于分数阶 Schr"{o}dinger 方程解正则性的先前结果。我们的方法受 Bourgain 在 $\a=2$ 情形下论证的启发。从 $\a=2$ 推广到一般 $\a>1$ 面临三个本质障碍：缺乏 Lee 的约化引理、符号代数结构的缺失以及在主定理推导中 Galilean 变换的不可用性。我们通过建立一个新的可用约化引理，并分析利用线段分离性以获得类似双线性 $L^2-$估计的所有可能性，从而克服了这些困难。为了弥补 Galilean 不变性的缺失，我们诉诸于相位函数的 Taylor 展开。此外，我们重构了 \cite{ref Bourgain Guth} 中的 Bourgain-Guth 不等式，以控制分数阶 Schr"{o}dinger 方程的解。