Banach 格值 $q$-变差与凸性

本文证明了微分算子的 $q$-变差在任何 $1<p<\infty$ 下于 $L^p(\mathbb{R};L^{\infty}(\mathbb{R}))$ 中均无界。因此，$q$-变差算子不能用于刻画底层 Banach 格的 Hardy-Littlewood 性质。此外，对于满足 $X^*$ 范数化且 $X$ 对某个大 $r$ 是 $r$-凸、但对任何 $s$ ($r<s<\infty$) 都不是 $s$-凸的 K"othe 函数空间 $X$，我们获得了 $q$-变差算子的 $(L^p(\mathbb{R};X),L^p(\mathbb{R};X)$-界的下界，该下界随着 $r$ 趋于无穷大而趋于无穷大。