背景无关性：$\mathbb{S}^1$ 与 $\mathbb{R}$ 绝对空间在形状与尺度理论中的巨大差异

$\mathbb{R}^d$ 上的 Kendall 型形状（及尺度）理论涉及其中 $N$ 点构型被某个几何上有意义的自同构群所商去。这出现在形状统计、经典与量子 $N$ 体问题以及作为广义相对论理论背景无关性许多方面的模型中。圆 $\mathbb{S}^1$ 上的形状与尺度理论在“橡皮形状”层面具有重要意义，作为仅有的 3 类无边界连通绝对空间之一。它也是第一个 $\mathbb{T^d}$ 与 $\mathbb{RP}^d$ 以及第一个球面；球面与环面由空间闭合的 GR 所驱动，$\mathbb{RP}^d$ 由图像分析与计算机视觉所驱动。我们现在在几何层面研究 $\mathbb{S}^1$ 情形。由于 $Isom(\mathbb{S}^1) = SO(2)$ 自身为一个 $\mathbb{S}^1$，形状与尺度 $N$ 体构型空间系统地为 $\mathbb{T}^{N - 1}$。我们进一步表明，圆上 3 点已足以相对于直线 $\mathbb{R}$ 上发生主要差异。尺度现在是必需的。完全对径构型与最大碰撞同样重要。拓扑上，部分对径构型扮演与直角等价的角色：具体地是 $\mathbb{R}^d$ 上 $d \geq 2$ 的概念。占用比对径构型更少与更多弧段分别是锐角与钝角三角形的拓扑类比。商去几何自同构会消除萌芽绝对空间概念的想法是错误的。这种间接建模反而能很好地记住萌芽绝对空间的拓扑。因此背景无关性的拓扑考量即使在力学模型中也已不可或缺。在广义相对论中，这对应于从 Wheeler 的 Superspace 过渡到 Fischer 的 Big Superspace。