最小形状空间. I. 形状理论提出及线上 3 点示例

Edward Anderson

最小形状空间. I. 形状理论提出及线上 3 点示例

广义相对论与量子宇宙学 2018-02-15 v2

作者: Edward Anderson

摘要

本论著关注形状,即点构型在商去各种自同构后的意义:连续平移、旋转和伸缩,以及离散镜像识别与点标号不可区分性。我们特别考虑相应的构型空间,包括形状空间与形状及尺度空间。这是发展背景无关性(Background Independence)概念的重要模型场,与广义相对论和量子引力有许多类比,也在动力学、量子化、概率与统计中有诸多应用。我们还阐释了在形状理论 Aufbau 原理内工作的必要性:仅当所有相对更小的粒子数 $N$ 、空间维数 $d$ 和连续自同构群 $G$ 情形均被考虑后,才考虑更大的情形。我们表明拓扑形状空间是图,为这些空间及通常考虑的度规形状空间的拓扑特征开辟了迄今未用的组合基础。我们对非齐次背景无关性的聚类与均匀性方面作了概念分析。我们还考虑了在执行镜像及粒子不可区分商去后形状空间的(相似) Killing 向量的命运;这对动力学与量子化考量至关重要。在本文第一部分,我们以 1- $d$ 中 3 点为例阐明上述拓扑、组合、微分几何及非均匀性创新。论文 II 至 IV 则分别将示例拓展至 1- $d$ 中 4 点、三角形(2- 与 3- $d$ 中 3 点)和四边形(2- $d$ 中 4 点)。四边形是在形状理论 Aufbau 原理第三部分大多数实现之前的最小要求:向自同构群 $G$ 添加更多生成元。

关键词

形状空间背景无关性 Aufbau 原理构型空间 Killing 向量点构型

引用

@article{arxiv.1711.10054,
  title  = {The Smallest Shape Spaces. I. Shape Theory Posed, with Example of 3 Points on the Line},
  author = {Edward Anderson},
  journal= {arXiv preprint arXiv:1711.10054},
  year   = {2018}
}

备注

86 pages with 53 figures. Improved presentation of section introducing Jacobi coordinates, improved Figures and a few further references

最小形状空间. I. 形状理论提出及线上 3 点示例

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关键词

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备注

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