橡皮关系主义:图论上最小非平凡莱布尼茨空间

Kendall 关于载体空间 $\mathbb{R}^d$ 中 N 个点星座在相似群作用下的商空间的相似性形状理论,是为概率与统计而发展的。后来被证明它居于力学中的形状与尺度理论之内,其中点被解释为粒子,载体空间扮演绝对空间的角色,欧几里得群被商掉。让我们将形状(-与尺度)理论统称为关系理论,并将其约化构型空间称为关系空间。我们现在考虑一个结构更弱的版本:「橡皮构型」的拓扑关系理论。这已经编码了更多样的几何关系理论的某些特征。与后者的(分层)流形关系空间相反,前者的关系空间是图:处理起来简单得多;其边编码拓扑邻接关系。我们集中于莱布尼茨空间,对应于不可区分点及镜像识别。这些 moreover 也是可区分及(在可能时)镜像相异情形之关系空间的构成基块。对于无边界连通流形载体空间,恰有 3 种「橡皮关系主义」:$\mathbb{R}$、$\mathbb{S}^1$,以及所有 $d \geq 2$ 的载体空间共有的一种。对于 $d \geq 2$,橡皮构型与划分一一对应,$\mathbb{S}^1$ 和 $\mathbb{R}$ 给出逐次细化。我们发现泛化构型与极大构型作为锥点普遍出现,前两种情况中的二元组亦如此。去锥化后留下包含 N 相关信息的剩余图。我们给出图论非平凡性判据,对应这些模型中最小 N 分别为 6、6 和 5,以及更强的此类判据对应最小 N 分别为 8、8 和 6,并概述了 GR 拓扑变更类比模型与 N 体问题应用。