Boussinesq 方程的 Bäcklund 变换与合并孤子

本文给出“好”Boussinesq 方程的 Bäcklund 变换（BT）及其叠加原理并加以应用。与许多其他标准可积方程不同，Boussinesq 方程对于两个 BT 没有严格的代数叠加原理，但对于三个 BT 却有。我们给出相关的格点系统。将 BT 作用于平凡解不仅生成标准孤子，还生成我们称之为“合并孤子”的解——即两个孤立波（具有相关速度）合并为一个孤子的解。我们利用叠加原理生成多种有趣的解，包括一个合并孤子与 $1$ 或 $2$ 个正规孤子的叠加，以及在有限时间内产生奇点随后在另一有限时间消失的解。我们证明了在平凡解上施加一般 BT 序列所得解的 Wronskian 公式。最后，我们展示了如何从 BT 得到 Boussinesq 方程的标准守恒量，以及局部对称性族如何简单地从三个 BT 的叠加原理导出。