二维 Benjamin-Ono 方程中的轴对称坍缩

我们在从 Navier-Stokes 方程渐近推导出的本质上二维的 Benjamin-Ono 方程（2D-BO）框架内，研究了局部扰动的非线性动力学。通过使用伪谱方法模拟 2D-BO 方程，我们证实了超过特定阈值的局部初始扰动会发生坍缩，形成一个点奇点。尽管 2D-BO 方程不具有轴对称性，但我们表明，在坍缩奇点附近，无论其初始形状如何，解都会变得轴对称。我们发现扰动以自相似的方式坍缩，扰动幅度以 $(\check \tau)^{-\lambda}$ 爆炸式增长，其横向尺度以 $(\check \tau)^{\lambda}$ 收缩，其中 $\check \tau$ 是到奇点时刻的时间。我们推导了一族描述轴对称坍缩的自相似解。自相似解中的自由参数 ${\lambda}$ 的值，通过将其与初始局部扰动演化的初始问题的数值模拟进行拟合来确定。值得注意的是，对于我们检查的示例，该参数的值被证明几乎是普适的：${\lambda} \approx 0.9$；其对初始条件的依赖性难以辨别。在奇点附近，动力学变为一维的，因此，推导出的 2D-BO 方程的约化提供了一个有效的坍缩一维模型。