避免欧几里得 Ramsey 理论中的短程数列

我们提供了一个通用框架，用于构造在欧几里得 Ramsey 理论中避免短单色程数列的着色方案。具体而言，若 $\ell_m$ 表示 $m$ 个彼此相邻且相邻两点距离为一的共线点，则称 $\mathbb{E}^n \not \to (\ell_r,\ell_s)$ 表示存在一种对 $n$ 维欧几里得空间进行的红/蓝着色，能够避免红色的 $\ell_r$ 和蓝色的 $\ell_s$ 的同构复制品。我们证明了 $\mathbb{E}^n \not \to (\ell_3, \ell_{20})$，这改进了 F"uhrer 和 T\'oth 目前最好的结果 $\mathbb{E}^n \not \to (\ell_3, \ell_{1177})$；同时也证明了 $\mathbb{E}^n \not \to (\ell_4, \ell_{14})$ 和 $\mathbb{E}^n \not \to (\ell_5, \ell_{8})$，这些结果与 Erd\H{o}s 等人经典结果 $\mathbb{E}^n \not \to (\ell_6, \ell_{6})$ 的 spirit 相符。我们还证明了若干类似的三色结果，以及 $\mathbb{E}^n \not \to (\ell_3, \alpha\ell_{6889})$，其中 $\alpha$ 为任意正实数。这一最终结果以肯定方式回答了 F"uhrer 和 T\'oth 的问题。