自动凸性

在许多情形下，值域为 R^n 的线性映射像的凸性是自动的，原因在于映射定义域的面结构。我们发展了一个证明此类“自动凸性”的四步流程。为使该流程更高效，我们证明两个新定理，依据原集合的面结构来刻画凸集与子空间交的面结构。设 K 为实线性空间 X 中的凸集，H 为 X 中与 K 相交的子空间。在第一部分中我们证明 K∩H 的面具有形式 F∩H，其中 F 为 K 的面。随后我们将交定理推广到 X 为局部凸线性拓扑空间、K 与 H 闭且 H 在 X 中余维数有限的情形。在第二部分我们运用该流程“解释”复矩阵数值域（及其某些推广）的凸性。在第三部分我们运用交定理的拓扑版本证明带有限多个线性约束的 Lyapunov 定理的一个版本。我们也将 Samet 连续提升定理推广到同样的约束情形。