Erlang采样下布朗运动最大值的渐近性

考虑带负漂移的布朗运动的全时最大值。假设该过程在某些时间点被采样，其中连续两点之间的时间由均值为$1/\omega$的Erlang分布给出。Erlang分布族覆盖了从确定性分布到指数分布的范围。我们证明当$\omega\to\infty$时，所有此类Erlang采样布朗运动的平均收敛速度为$O(\omega^{-1/2})$，并且$O$中的常数范围从确定性采样的$-\zeta(1/2)/\sqrt{2\pi}$到指数采样的$1/\sqrt{2}$。我们分析的基本要素包括：期望最大值的有限级数表达式；利用Euler-Maclaurin求和得到的$\sum_{j=1}^{k-1}(1-\exp(2\pi i j/k))^{-s}$（$s\in\mathbb{R}$）当$k\to\infty$时的渐近展开；以及在包含闭单位圆盘的开集内解析函数的傅里叶采样。