抛物Anderson随机场密度的渐近性

我们研究随机偏微分方程 $\frac{\partial }{\partial t} u(t,x)=\frac12 \Delta u(t,x)+u\diamond \dot W(t,x)$ 的解 $u(t,x)$ 的尖密度 $\rho(t,x; y)$，其中 $\dot W$ 为一般高斯噪声，$\diamond$ 表示 Wick 积。我们主要关注当 $y\rightarrow \infty$ 或 $t\to0+$ 时 $\rho(t,x; y)$ 的渐近行为。我们获得了上下界，且这两界除若干乘法常数外彼此匹配。若初值为正，则 $\rho(t,x;y)$ 支撑于正半直线 $y\in [0, \infty)$，此时我们证明 $\rho(t,x; 0+)=0$，并给出了当 $y\rightarrow 0+$ 时 $\rho(t,x; y)$ 的上界。