一维带势 NLS 小孤子的渐近稳定性

我们在能量类中考虑超临界一维非线性薛定谔方程 $$iu_t+u_{xx}=Vu\pm |u|^{p-1}u \quad\text{for $(x,t)\in\mathbb{R}\times\mathbb{R}$,}$$ 的小孤立波的渐近稳定性。Gustafson-Nakanishi-Tsai \cite{GNT} 在三维情形利用端点 Strichartz 估计研究了该问题。为证明孤立波的渐近稳定性，我们需要证明解的色散部分 $v(t,x)$ 对某个空间 $X$ 属于 $L^2_t(0,\infty;X)$。在一维情形，该性质不能仅由 Strichartz 估计推出。本文我们证明 Kato 型局部光滑效应全局随时间成立，并将此估计与 Strichartz 估计结合以证明 $\|(1+x^2)^{-3/4}v\|_{L^\infty_xL^2_t}<\infty$，这蕴含了孤立波的渐近稳定性。