永久序列的渐近性质

设 $U=\{U_{j,k},j,k\in \overline {\mathbb N}\}$ 为状态空间 $\overline {\mathbb N}$ 的暂态对称 Borel 右过程 $X$ 的势。对于 $X$ 的任意过余函数 $f=\{f_{k,k\in \overline {\mathbb N}}\;\}$， $\widetilde U=\{\widetilde U_{j,k},j,k\in\overline {\mathbb N}\}$，其中 \begin{equation} \widetilde U_{j,k}= U_{j,k} +f_{ k},\qquad j,k\in\overline {\mathbb N},\label{a.1} \end{equation} 是所有 $\alpha>0$ 的 $\alpha$-永久序列 $\widetilde X_{\alpha}=(\widetilde X_{\alpha, 1} ,\ldots)$ 的核。对称势 $U$ 也是零均值高斯序列 $\eta=\{\eta_{j},j\in \overline {\mathbb N}\}$ 的协方差。给出了势 $U$ 和过余函数 $f$ 满足如下条件时的条件：\begin{equation} \limsup_{j\to \infty}\frac{ \eta_{j}}{( 2\,\phi_{j})^{1/2} }=1 \quad a.s. \quad \implies \quad \limsup_{n\to \infty}\frac{\widetilde X_{\alpha, j}}{\phi_{j} }=1\quad a.s.,\label{a.2} \end{equation} 对所有 $\alpha>0$ 以及满足 $f_{j}=o(\phi_{j})$ 的序列 $\phi=\{\phi_{j}\}$ 成立。函数 $\phi$ 由 $U$ 确定。给出了许多例子，其中 $U$ 是有和无迁出的对称生灭过程、一阶及高阶高斯自回归序列以及 $\mathbf Z$ 上的 Lévy 过程的势。