非局部扩散算子主特征值的渐近极限及其传播动力学

对于固定的 $c\in\mathbb{R}$，$l>0$ 和满足标准假设的一般非对称核函数 $J(x)$，我们考虑非局部扩散算子 \begin{align*} \bf{L}^{J, c}_{(-l,l)}[\phi](x):=\int_{-l}^lJ(x-y)\phi(y)\,dy+c\phi'(x), \end{align*} 并证明其主特征值 $\lambda_p(\bf{L}^{J, c}_{(-l,l)})$ 具有以下渐近极限： \begin{equation*}\label{l-to-infty-c} \lim\limits_{l\to \infty}\lambda_p(\bf {L}^{J, c}_{(-l,l)})=\inf\limits_{\nu\in\mathbb{R}}\big[\int_{\mathbb{R}}J(x)e^{-\nu x}\,dx+c\nu\big]. \end{equation*} 我们随后演示如何将此结果应用于确定与之相关的 Cauchy 问题的传播动力学 \begin{equation*} \label{cau} \left\{ \begin{array}{ll} \displaystyle u_t = d \big[\int_{\mathbb{R}} J(x-y) u(t,y) \, dy - u(t,x)\big] + f(u), & t > 0, \; x \in \mathbb{R}, u(0, x) = u_0(x), & x \in \mathbb{R}, \end{array} \right. \end{equation*} 其中包含KPP类型非线性项 $f(u)$。这为理解KPP类型模型的传播动力学提供了一种新方法，与基于旅行波解或基于Weinberger (1982)的方法的动力系统截然不同。