通过 Hammond-Sheffield urn 中的合并概率看渐近高斯性

对于 Hammond 与 Sheffield 的“幂律 Pólya urn”中由合并更新过程生成的 $\mathbb Z$ 连通分支的随机 $\pm 1$ 着色的重整化和，我们证明了朝向分数布朗运动的函数收敛，弥补了其论文中紧性论证的缺口。此外，在强更新定理的 regime 下，我们深入理解了 Hammond-Sheffield urn 中的合并更新过程（如最近共同祖先的渐近深度），并能够控制从 $[n]$ 中随机抽样的两个、三个及四个个体的合并概率。这使我们获得了更一般着色的重整化和渐近高斯性（含函数收敛）的一个新的、概念性证明，可视为超越 Hammond 与 Sheffield 主要结果的不变原理。在此证明中，一个独立有趣的关键要素是基于 Stein 方法的随机着色随机划分 $[n]$ 重整化和渐近高斯性的充分判据。在此过程中，我们还证明了关于 Blath、González Casanova、Kurt 与 Spanò 的长程种子库模型合并概率渐近的一个命题。