任意正阶分数阶映射中的渐近循环

许多自然和社会系统具有幂律记忆，其数学建模需要应用离散和连续分数阶微积分。这些系统大多是非线性的，并表现出与无记忆系统不同的规则和混沌行为。寻找周期解对于理解非线性系统的规则和混沌行为至关重要。分数阶系统除不动点外没有周期解。相反，它们具有渐近周期解，在稳定的规则行为情况下收敛到周期汇（类似于常规耗散系统），而在不稳定/混沌行为情况下则充当排斥子。在其近期的一篇论文中，第一作者推导出了允许计算一大类离散记忆映射渐近周期点的方程。所有阶数为 0 < α < 1 的分数阶映射和分数阶差分映射都属于此类。在本文中，我们推导出了允许计算更广泛一类映射渐近周期点坐标的方程，该类映射包括任意正阶 α > 0 的分数阶映射和分数阶差分映射。这些映射定义为生成函数 -G_K(x)（可能与相应常规映射 x_{n+1} = -G_K(x_n)+x_n 中的相同）与核 U_α(k) 的卷积，核 U_α(k) 定义了映射的类型。对于分数阶映射，核为 U_α(k) = k^α；对于分数阶差分映射，核为 U_α(k) = k^{(α)}，即下降阶乘函数。在本文中，我们定义了允许计算相应记忆映射周期点的核函数空间。我们还证明了在阶数为 1 < α < 2 的分数阶映射中，周期-l 点的所有物理动量之和为零。