具有正齐次边权的 Eden 模型的渐近行为

设 $d\in\mathbb N$，$\alpha\in\mathbb R$，并设 $f :\mathbb R^d\setminus \{0\} \rightarrow (0,\infty)$ 为局部 Lipschitz 且 $\alpha$ 次正齐次的（例如，$f$ 可以是 $\mathbb R^d$ 上某范数的 $\alpha$ 次幂）。我们研究 $\mathbb Z^d$ 上 Eden 模型的一种推广，其中下一个加入簇的边是从与当前簇关联的所有边的集合中，以与 $f$ 在该边中点处的值成正比的概率选取的，而非均匀选取。该模型等价于首达渗流的一个变体，其中边通过时间是以 $f$ 在边中点处的值为参数的独立指数随机变量。我们证明，若 $\alpha< 1$，则 $f$-加权 Eden 模型簇几乎必然具有确定性极限形状，该形状是 $f$ 与标准 Eden 模型极限形状的显式泛函，并估计了收敛到该极限形状的速率。我们还证明，若 $\alpha>1$，则存在 $\mathbb R^d$ 上的一个范数 $\nu$（依赖于 $\alpha$），使得若设 $f(z) = \nu(z)^{ \alpha}$，则 $f$-加权 Eden 模型簇在所有时刻几乎必然包含于一个张角 $<\pi$ 的欧氏锥中。我们进一步表明，不存在 $\mathbb R^d$ 上的范数使得后一论断对所有 $\alpha>1$ 成立；且不存在函数 $f$ 的选择使得上述论断在 $\alpha=1$ 时成立。我们的基本方法是将 $f$-加权首达渗流的局部行为与具有独立同分布指数边权的无权首达渗流（等价于无权 Eden 模型）的局部行为进行比较。我们包含了未解决问题列表及若干计算机模拟。