含变号系数的亥姆霍兹方程解的渐近行为

本文致力于研究当 $\delta \to 0$ 时，方程 \begin{equation*} \dive(\epss_\delta A \nabla u_{\delta}) + k^2 \epss_0 \Sigma u_{\delta} = \epss_0 f \quad \text{在 } \Omega \text{ 内} \end{equation*} 的唯一解 $u_\delta \in H^{1}_{0}(\Omega)$ 的行为，其中 $\Omega$ 是 $\mR^d$（$d=2$ 或 3）中具有光滑边界的连通有界开集，$f \in L^2(\Omega)$，$k$ 是非负常数，$A$ 是一致椭圆的矩阵值函数，$\Sigma$ 是上下界均为正常数的实函数，而 $\epss_\delta$ 是一个复函数，其{\bf 实部取值为 1 和 -1}，虚部为正且当 $\delta$ 趋于 0 时收敛到 0。这一研究源于 \cite{NicoroviciMcPhedranMilton94} 中的一个结果以及 \cite{LaiChenZhangChanComplementary, PendryNegative, PendryRamakrishna} 中提出的互补概念。在引入反射互补介质（即由反射生成的互补介质）之后，我们刻画了使得 $\|u_\delta\|_{H^1(\Omega)}$ 在 $\delta$ 趋于 0 时保持有界的 $f$。对于这样的 $f$，我们还证明了 $u_\delta$ 在 $H^1(\Omega)$ 中弱收敛，并给出了计算其极限的公式。