基于内变分的Allen-Cahn型能量与Neumann特征值的渐近行为
偏微分方程分析
2018-12-17 v2
摘要
我们利用一阶与二阶内变分的概念作为桥梁，使得Allen-Cahn、Cahn-Hilliard与Ohta-Kawasaki能量的一阶与二阶Gateaux变分能够取极限。在适当假设下，通过在我们变分中考虑非紧支撑的速度场与加速度场，这使我们能够表明稳定性（包括边界项）可传递到锐界面极限。这补充了Tonegawa以及Tonegawa与Wickramasekera的结果，其中内部稳定性被证明可传递到极限。作为进一步应用，我们证明了Allen-Cahn算子线性化第k个Neumann特征值的渐近上界，将其与Jacobi算子的第k个Robin特征值相联系，该Jacobi算子取自在Allen-Cahn临界点零集渐近位置处出现的极小曲面。我们还证明了Cahn-Hilliard与Ohta-Kawasaki情形下线性化算子特征值的类似结果。这些补充了第一作者早先的结果，其中对线性化Allen-Cahn算子的Dirichlet特征值得到了此类渐近上界。我们对Allen-Cahn Neumann特征值的渐近上界在一个方向上推广了Kowalczyk工作中建立的这些特征值的渐近等价性，该工作针对极小曲面为线段且适当构造特定Allen-Cahn临界点的二维情形。
引用
@article{arxiv.1805.02604,
title = {Asymptotic Behavior of Allen-Cahn Type Energies and Neumann Eigenvalues via Inner Variations},
author = {Nam Q. Le and Peter Sternberg},
journal= {arXiv preprint arXiv:1805.02604},
year = {2018}
}
备注
v2: modified Remark 3.5, added a new theorem 3.10, added Remark 4.5 and several new references; final version to appear in Ann. Mat. Pura Appl