二维不可压缩理想流绕小圆盘的渐近行为

在本文中，我们研究了一族不可压缩二维 Euler 方程在一系列 $n_k$ 个互不相交、中心为 $\{z^k_i\}$、半径为 $\varepsilon_k$ 的圆盘外部的解的齐次化极限。我们假设初始速度 $u_0^k$ 是光滑的、无散度的、与边界相切的，并且在无穷远处消失。我们允许但不要求 $n_k \to \infty$，并假设当 $k\to \infty$ 时 $\varepsilon_k \to 0$。令 $\gamma^k_i$ 为 $u_0^k$ 绕圆周 $\{|x-z^k_i|=\varepsilon_k\}$ 的环量。我们证明该齐次化极限保留了关于环量的信息，将其作为一个与时间无关的系数。更精确地，我们假设：(1) $\omega_0^k = \mbox{ curl }u_0^k$ 具有一致的紧支撑，并且在某个 $p_0>2$ 的 $L^{p_0}$ 中弱收敛于 $\omega_0 \in L^{p_0}_{c}(\mathbb{R}^2)$；(2) 对于某个有界 Radon 测度 $\mu$，有 $\sum_{i=1}^{n_k} \gamma^k_i \delta_{z^k_i} \rightharpoonup \mu$ 在 $\mathcal{BM}(\mathbb{R}^2)$ 中弱-$\ast$ 收敛；(3) 半径 $\varepsilon_k$ 足够小。则相应的解 $u^k$ 强收敛于整个平面上修正 Euler 系统的一个弱解 $u$。该修正 Euler 系统以涡度形式给出，即关于量 $\omega=\mbox{ curl } u$ 的主动标量输运方程，初始数据为 $\omega_0$，其中输运速度场由 $\omega$ 生成，使其旋度为 $\omega + \mu$。作为副产品，我们得到了该修正 Euler 系统的一个新的存在性结果。