Skolem 指数函数的渐近分析

Skolem（1956）研究了正实数线上取值函数的最小类中无穷远处的芽，该类包含常数 $1$、恒等函数 $x$，并且若 $f$ 和 $g$ 在集合中，则 $f+g,fg$ 和 $f^g$ 也在集合中。该芽集合是良序的，Skolem 猜想其序型为 epsilon-zero。Van den Dries 和 Levitz（1984）计算了低于 $2^{2^x}$ 的片段的序型。在此我们证明，在 Skolem 函数的任意阿基米德类中的渐近类集合具有序型 $\omega$。作为推论，我们对每个正整数 $n$ 给出了低于 $2^{n^x}$ 的片段的一个上界。我们推导出低于 $2^{x^x}$ 的片段的 epsilon-zero 上界，改进了 Levitz（1978）先前的 epsilon-omega 上界。我们方法的一个新特点是将 Conway 的超现实数用于渐近计算。