自由积外空间的非对称性

对于每一个具有有限 Kurosh 秩的群 G 的自由积分解 $G = G_{1} \ast ...\ast G_{q} \ast F_{r}$，其中 $F_r$ 是有限生成自由群，我们可以关联某个（相对）外空间 $\mathcal{O}$。我们研究（相对）外空间 $\mathcal{O}$ 上 Lipschitz 度量 $d_R$ 的非对称性。更具体地说，我们推广了 Algom-Kfir 和 Bestvina 的构造，引入一个（非对称的）Finsler 范数 $\|\cdot\|^{L}$，该范数诱导出 $d_R$。记 $Out(G, \mathcal{O})$ 为保持各 $G_i$ 共轭类集合的 G 的外自同构。则存在一个 $Out(G, \mathcal{O})$-不变的函数 $\Psi : \mathcal{O} \rightarrow \mathbb{R}$，使得当 $\| \cdot \|^{L}$ 被 $d \Psi$ 修正后，所得范数是拟对称的。作为一个应用，我们证明，若将 $d_R$ 限制在相对外空间的 $\epsilon$-厚部分（对某个 $\epsilon >0$），则它是拟对称的。最后，我们将 Handel 和 Mosher 关于自由积 IWIP 自同构的一个定理进行推广，该定理指出：对于任何 IWIP $\phi \in Out(F_n)$ 及其逆，其相对扩张因子的比值存在一个仅依赖于群的统一上界。