伪黎曼 Lie 代数中的可交换结构

本文探讨了伪黎曼 Lie 代数 $(\mathfrak{g}, \langle \cdot, \cdot \rangle)$ 上对 Levi-Civita 联结对称部分 $U$ 的可交换性在代数和几何上的 consequences。我们证明，在黎曼（正定）情形下，$U$ 的可交换性是一个极具约束力的条件，迫使张量恰好为零，从而恢复双不变度量的类。在相反地，针对伪黎曼情形，我们聚焦于 $(\mathfrak{g}, U)$ 可交换且 unimodular 的子类。作为主要结果，我们建立了每个连通 Lie 群都可左不变伪黎曼度量且其 $U$-张量可交换且 unimodular，从而实现 geodesically 完整。最后，我们探讨了 2 步幂 nilpotent 和 almost-abelian Lie 代数的家族。对于后者，我们获得一些刚性结构分类，显示典范模型是在某些（反）洛伦兹度量下 3 维 Heisenberg 代数，或涉及在标准中性空间 $W \oplus W^*$ 上非退化 infinitesimal $\beta$-变换的半直积扩张。