理想型排列

2006年 Sommers 和 Tymoczko 定义了所谓理想型排列 $A_I$，其源于约化根系的正根集合中的理想 $I$。他们通过逐例论证表明，若根系为经典类型或 $G_2$，则 $A_I$ 是自由的，并猜想对所有类型也成立。这一猜想直到最近才由 Abe, Barakat, Cuntz, Hoge 和 Terao 以统一方式确立。自由排列 $A_I$ 的非零指数集合由正根集合中 $I$ 的补集里根的高度划分的对偶给出，推广了 Shapiro-Steinberg-Kostant 定理。本文的第一个目的是研究 $A_I$ 的更强自由性性质。我们证明所有 $A_I$ 都是归纳自由的，可能在 $E_8$ 类型的某些情况例外。在同一篇论文中，Sommers 和 Tymoczko 定义了与每个理想 $I$ 相关的庞加莱多项式 $I(t)$，它推广了底层外尔群 $W$ 的庞加莱多项式 $W(t)$。Solomon 证明了对于任何考克斯特群 $W$，$W(t)$ 满足依赖于 $W$ 的指数的乘积分解。Sommers 和 Tymoczko 在 $A$、$B$、$C$ 类型及一些小规模例外类型的逐例分析中表明，庞加莱多项式 $I(t)$ 具有类似因式分解性质，推广了 Solomon 关于 $W(t)$ 的公式。他们猜想 $I(t)$ 的乘法公式对所有类型成立。在此我们证明该猜想在几乎所有情况下归纳成立。