复双曲流形中的算术性、超刚性及全测地子流形

对于 $n \ge 2$,我们证明了一个有限体积的复双曲 $n$-流形若包含无穷多个维数至少为二的最大真浸入全测地子流形,则该流形是算术的,这与我们此前关于实双曲流形的工作相平行。如同实双曲情形,我们的主要结果是对复双曲格的某些表示的一个超刚性定理。证明需要发展实双曲情形所不需要的新的通用工具。我们的主要结果还有若干其他应用。例如,我们证明复双曲流形之间某些映射的不存在性(这与 Siu 的一个问题相关),某些双曲 $3$-流形不能是复双曲流形的全测地子流形,以及复双曲流形的算术性可纯粹由其底层复变种的拓扑所探测(这与 Margulis 的一个问题相关)。我们的结果也为 Klingler 的一个猜想提供了一些证据,该猜想是 Zilber--Pink 猜想的一个广泛推广。