树状拓扑与分形子相

我们描述了在没有底层流形结构的新型几何上的拓扑有序和分形子有序态。使用诸如 $k$-配位 Bethe 晶格 ${\cal B}(k)$ 和由 $k$-配位超链接（由 $n$ 个位点定义）组成的称为 $(k,n)$-超 Bethe 晶格 ${\cal HB}(k,n)$ 的超树，我们通过图笛卡尔积 $\square$ 的概念构造了多维树状舞台，例如 ${\cal B}(k_1) \square {\cal B}(k_2)$。我们研究了定义在这些舞台上的各种量子系统，例如 ${\mathbb Z}_2$ 规范理论、广义量子 Ising 模型 (GQIM)、分形子 X-cube 模型以及相关的 X-cube 规范理论。即使是 2d 树状舞台上最简单的 ${\mathbb Z}_2$ 规范理论也是分形子的——单极子激发是不可移动的。3d 树状舞台上的 X-cube 模型是完全分形子的，所有多极子都被固定。我们获得了这些规范理论的变分基态相图。此外，我们在树状舞台中发现了一类引人入胜的对偶性，例如定义在 ${\cal B}(k_1) \square {\cal B}(k_2)$ 上的 ${\mathbb Z}_2$ 规范理论对偶于定义在 ${\cal HB}(2,k_1) \square {\cal HB}(2,k_2)$ 上的 GQIM。最后，我们讨论了树状舞台上不同类别的拓扑和分形子序。我们在 2d 树状舞台上发现了三类不同的树状 toric code 序，分别出现在 ${\cal B}(2) \square {\cal B}(2)$、${\cal B}(k) \square {\cal B}(2), k >2$ 和 ${\cal B}(k_1) \square {\cal B}(k_2)$, $k_1,k_2>2$ 上。同样，在 3d 树状舞台中发现了四类 X-cube 分形子序——分别在 ${\cal B}(2)\square{\cal B}(2)\square {\cal B}(2)$、${\cal B}(k) \square {\cal B}(2)\square {\cal B}(2), k>2$、${\cal B}(k_1) \square {\cal B}(k_2) \square {\cal B}(2), k_1,k_2 >2$ 和 ${\cal B}(k_1) \square {\cal B}(k_2) \square {\cal B}(k_3), k_1,k_2,k_3 >2$ 上。