McKean-Vlasov 与 Boltzmann 型方程的近似格式(全变距离下的误差分析)

我们研究 McKean-Vlasov 与 Boltzmann 型跳跃方程。这意味着随机方程的系数依赖于解的分布,且方程由强度测度也依赖于解分布的 Poisson 点测度驱动。在 [3] 中,Alfonsi 与 Bally 已证明在某些适当条件下,此类方程的解 $X_t$ 存在且唯一。同时也证明 $X_t$ 是解析弱方程的概率解释。此外,该方程的 Euler 格式 $X_t^{\mathcal{P}}$ 在 Wasserstein 距离下收敛于 $X_t$。本文在更受限的假设下,证明 Euler 格式 $X_t^{\mathcal{P}}$ 在全变距离下收敛于 $X_t$,且 $X_t$ 具有光滑密度(即解析弱方程的函数解)。另一方面,出于模拟考虑,我们使用截断 Euler 格式 $X^{\mathcal{P},M}_t$,其在任意紧区间内有有限次跳跃。我们证明 $X^{\mathcal{P},M}_{t}$ 也在全变距离下收敛于 $X_t$。最后,我们给出基于与 $X^{\mathcal{P},M}_t$ 关联的粒子系统的算法,以近似 $X_t$ 律的密度。获得了误差的完整估计。