用周期化逼近遍历介质的有效电导率

本文关注与椭圆算子 $\nabla_x A(x,\eta) \nabla_x$ 相关的有效电导率 $\sigma(A,\mu)$ 的逼近，其中对 $x\in \R^d$（$d\geq 1$），$A(x,\eta)$ 是有界椭圆随机对称 $d\times d$ 矩阵，且 $\eta$ 取值于遍历概率空间 $(X,\mu)$。记 $A^N(x,\eta)$ 为 $A(x,\eta)$ 在边长为 $N$ 的 $d$ 维环面 $T^d_N$ 上的周期化，我们证明对 $\mu$-几乎处处的 $\eta$ 有 $$\lim_{N\to +\infty}\sigma(A^N,\eta)=\sigma(A,\mu)$$ 我们将此结果推广至非对称算子 $\nabla_x (a+E(x,\eta)) \nabla_x$（对应于遍历无散度流中的扩散，其中 $a$ 为 $d\times d$ 椭圆对称矩阵，$E(x,\eta)$ 为遍历斜对称矩阵）；并推广至对应于 $\Z^d$ 上具有遍历跳跃率的随机游走的离散算子。我们结果的核心在于表明与 $\L^2(X,\mu)$ 相关的遍历 Weyl 分解可以几乎必然地被周期递增的 Weyl 分解逼近，这意味着与 $\L^2(X,\mu)$ 相关的半连续变分公式可以几乎必然地被在周期势与螺线管函数上取最小的变分公式逼近。